Verschränkungsübertragung über compound -und beliebig variierende Kanäle

Betrachtet wird die folgende Aufgabenstellung: Ein Sender versucht, eine Hälfte eines in seinem Besitz befindlichen maximalverschränkten Zustandes an einen Empfänger zu schicken.
Zur Verfügung steht ihm dabei ein physikalisches Medium wie z.B. ein Glasfaserkabel (im Folgenden schlicht Kanal genannt), mathematisch beschrieben durch eine vollständig positive Abbildung.

Im einfachsten Fall ist der Kanal gedächtnislos und während der gesamten Übertragung konstant. Weiter wird angenommen, dass der Kanal beliebig oft verwendet werden kann (ein asymptotisches Szenario, welches in diesem Projekt aus der Shannonschen Informationstheorie in die Quanteninformationstheorie übernommen wird)

Real existierende Systeme weichen im Allgemeinen weit ab von dieser idealisierten Vorstellung.
Dies kann theoretisch z.B. mit den zwei Szenarien des Compound- und des beliebig varieerenden Kanals modelliert werden, welche beschrieben werden wie folgt:

Dem Compound-Kanal liegt weiterhin die Annahme des gedächtnislosen, konstanten Kanals zugrunde. Weder Sender noch Empfänger haben jedoch eine exakte Beschreibung des Kanals zur Verfügung. Ihre Kanalkenntnis ist vielmehr beschränkt auf die Information, dass der Kanal in einer vorgegebenen Menge (z.B. gegeben durch vom Hersteller garantierter maximaler Abweichungen der für die Übertragung relevanten Parameter in der mathematischen Beschreibung eines Glasfaserkabels) liegt.
Variationen des Modells entstehen, indem entweder Sender oder Empfänger mit exakter Kanalkenntnis ausgestattet werden.

Der beliebig variierende Kanal lässt zusätzlich noch die Annahme des während der gesamten Übertragung konstanten Mediums fallen. Der Kanal kann von Nutzung zu Nutzun innerhalb vorgegebener und sowohl Sender als auch Empfänger bekannter Grenzen "beliebig variieren".
Lediglich die Gedächtnislosigkeit bleibt erhalten.

Die mathematischen Methoden, die von uns zur Behandlung dieser Poblemstellungen angewendet werden, reichen von Linearer Algebra inklusive Matrixungleichungen über (diskrete) Wahrscheinlichkeitstheorie und Gruppendarstellungstheorie bis zur Geometrie hochdimensionaler Banachräume.

Literatur

• I. Bjelakovic, H. Boche, J. Nötzel, “Quantum capacity of a class of compound channels”, Phys. Rev. A 78, 042331, 2008
• Bjelakovic , I., Boche, H.: "Classical Capacities of Averaged and Compound Quantum Channels". IEEE Trans. Inf. Th. 57(7), 3360–3374, 2009
• "Entanglement transmission and generation under channel uncertainty: Universal quantum channel coding" I. Bjelakovic, H. Boche, and J. Nötzel, Communications in Mathematical Physics 292, pp. 55-97, 2009, Preprint available at www.arxiv.org.
• "Quantum Capacity under adversarial quantum noise: arbitrarily varying quantum channels" R. Ahlswede, I. Bjelakovic, H. Boche, and J. Nötzel, submitted to Communications in Mathematical Physics